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\section{第二部分}
\subsection{例7（钢架）}
\btitle{模型及荷载}
如下图所示。一个钢架，在右上角是铰接的。水平杆件的抗弯刚度是竖向杆件抗
弯刚度的三倍。如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{pic/in2/p2_1.jpg}
\figcaption{实例7的模型}
\label{p2_1}
\end{center}
依然是书上的一个例子。不计构件自重。杆件的截面设置为矩形，竖向杆件的截
面尺寸为~$0.15\times 0.2m$，那么水平杆件的抗弯刚度是它的三倍。水平杆件
的高宽比定为2，经计算，水平杆件的尺寸大致为~$0.145\times 0.29m$，抗弯刚
度基本保证了是竖向杆件的三倍，可以用来模拟上面的结构。\midpar

\ctitle{计算结果}
建模后计算，SAP2000~的计算结果如下图所示
\begin{center}
\includegraphics[width=0.95\textwidth]{pic/in2/p2_2.jpg}
\figcaption{实例7的弯矩图}
\label{p2_2}
\end{center}
和书上的计算结果基本相同，差别在个位数。可能是因为横、竖构件的刚度比不
是严格的三比一的关系。

\subsection{例8（单杆的扭矩）}
\btitle{计算模型}
模型很简单，就是一个长为~$3m$，直径为~$0.3m$~的混凝土柱子，竖直放着。约
束为下部节点固接，上部节点自由。混凝土标号为~$C30$。给它的顶部施加一
个~$1kN$~的扭矩。这就是全部模型。\midpar

\ctitle{建模及计算结果}
建模很简单，定义混凝土材料，定义一个圆形的混凝土截面。然后在
点~$(0,0,0)$~和点~$(0,0,3)$~分别画两个节点。布置上柱子。下部节点设为固
接。再给上部节点布置上荷载：扭矩。模型和结果如下图所示。
\begin{center}
\includegraphics[height=0.3\textheight]{pic/in2/p2_3.jpg}\quad
\includegraphics[height=0.3\textheight]{pic/in2/p2_4.jpg}\quad
\includegraphics[height=0.3\textheight]{pic/in2/p2_5.jpg}
\figcaption{杆的扭矩}
\label{p2_345}
\end{center}
上图左为受力模型，中为扭矩图，右为轴力图。因为混凝土材料有自重，所以有
轴力。计算一下。查看程序中~$C30$~混凝土的自重为~$23.5631kN/m^3$，这个结
果是程序默认的，没有修改。圆柱截面面积计算一下为~$0.0706m^2$，柱子的体
积为~$0.212m^3$，自重为~$4.99kN$。这是手算结果，和程序计算结果是一致的。

\subsection{例9（单杆的扭矩）}
这个接实例8，其它条件都不变，只是把上节点也改为固接，也就是上下都是固接。
模型及计算结果如下。
\begin{center}
\includegraphics[height=0.3\textheight]{pic/in2/p2_6.jpg}\quad
\includegraphics[height=0.3\textheight]{pic/in2/p2_7.jpg}\quad
\includegraphics[height=0.3\textheight]{pic/in2/p2_8.jpg}
\figcaption{杆的扭矩2}
\label{p2_678}
\end{center}
上图左为模型，中为轴力图，右为弯矩图。因为节点被完全固定了，所以施加的
扭矩失去了作用。至于轴力也是对的，上半部分受拉，下半部分受压。对于轴力
计算，这是一个超静定模型，计算结果和程序一样。

\subsection{例10（单杆的扭矩）}
这个依然接实例8，其它条件都不变，就是把上节点的三个平动位移约束上，三个
转动位移自由。如下图所示。
\begin{center}
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{pic/in2/p2_9.jpg}
\figcaption{上节点约束三个平动位移}
\label{p2_9}
\end{center}
那么这个节点就不能沿~X,Y,Z~这三个方向平动，但可以绕三个轴转动。这应该使
得它的轴力图和实例9一样，而扭矩图和实例8一样。下面是模型和计算结果。
\begin{center}
\includegraphics[height=0.3\textheight]{pic/in2/p2_10.jpg}\quad
\includegraphics[height=0.3\textheight]{pic/in2/p2_11.jpg}\quad
\includegraphics[height=0.3\textheight]{pic/in2/p2_12.jpg}
\figcaption{杆的扭矩3}
\label{p2_101112}
\end{center}
这些结果和预想的一样。

\subsection{例11（单杆的扭矩）}
本例依然接实例8，其它条件均不变，只是上部节点的约束改变为下面的样子
\begin{center}
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{pic/in2/p2_13.jpg}
\figcaption{上节点约束绕Z轴的转动}
\label{p2_13}
\end{center}
由于约束了上节点绕~Z~轴的转动，那么对该节点施加的扭矩应该不起作用。至于
轴力，则和实例8一样，自上而下增大。结果如下图所示。
\begin{center}
\includegraphics[height=0.3\textheight]{pic/in2/p2_14.jpg}\quad
\includegraphics[height=0.3\textheight]{pic/in2/p2_15.jpg}\quad
\includegraphics[height=0.3\textheight]{pic/in2/p2_16.jpg}
\figcaption{杆的受力、轴力和扭矩}
\label{p2_141516}
\end{center}
以上的结果和预料的相同。

\subsection{例12（简支梁的挠度）}
有一个~$10m$~跨的简支梁，材料为~$Q235$，截面为工字钢，截面宽度150mm，截
面高度250mm，腹板厚8mm，上下翼缘厚10mm。钢梁上线荷载为~$10kN/m$，不计材
料自重。计算它的最大挠度。挠度计算公式是
\[ f_{max} = \frac{5qL^4}{384EI} \]
\midpar

建模及计算过程很简单，略。把材料的自重设为零，这样方便手算挠度。下面查
看数据。点击菜单“Define，Section Properties，Frame Sections”选中定义
的工字钢截面，然后点击菜单“Modify/Show Property”，出现工字钢截面对话
框。查看里面的“Properties，Section Properties”出现“Property Data”对
话框。“Moment of Inertia”表示截面惯性矩，包括两个轴的惯性矩。所以几个
数据是
\begin{verbatim}
    q = 10(kN/m)
    L = 10(m)
    E = 2.00E+08
    I = 5.134E-05
\end{verbatim}
代入上面的公式计算得到最大挠度为
\[ f_{max} = 0.1268(m) \]
下面查看~SAP2000~的挠度计算结果。计算之后，点击菜单“Display，Show
Forces/Stresses，Frames/Cables”，然后点击确定。屏幕上出现一个弯矩图。
然后鼠标放在梁上，右键，弹出对话框“Diagrams for Frame Object”，里面有
梁的挠度的数值。计算机计算的结果是
\[ f_{max} = 0.126565(m) \]
基本上一样，但是有很小的差距。可能的原因是，理论计算公式没有考虑材料的
剪切模量，所以算出的挠度要稍微大一些。SAP2000~应该考虑了钢梁的剪切模量。
查看它的材料定义，也发现~Q235~的剪切模量很大，不是零。我想把它修改为零
后再计算一遍，但是程序不让修改这个参数。
